Pensándolo bien...

Los fractales se han popularizado como bellas y atractivas figuras tanto naturales como artificiales. Alcanza hasta la Gastronomía en un vívido recuerdo de aquellas propuestas que el genial Leonardo da Vinci propusiera cuando el Renacimiento asomaba, también en la restauración. No parece lo mismo comerse una lechuga, una perdiz, que una bella figura construida con ella. Tampoco un café con leche que en su superficie traza un bello fractal ramificado. Un postre artesanalmente desarrollado con fluidos de diferentes densidades genera la belleza de la geometría fractal. La coliflor y el brócoli son ejemplos corrientes de fractales, que incluyen un pretendido «código geométrico de la naturaleza».

Mandelbrot acuñó el término «fractal» en 1975. Describió matemáticamente estructuras complejas y aparentemente desordenadas que se encuentran en la naturaleza. Publicó un libro fundamental, «La geometría fractal de la naturaleza», en 1982, donde exploró en profundidad la idea de los fractales.  Aunque Mandelbrot popularizó el concepto, varios matemáticos antes de él habían trabajado en ideas similares. Por ejemplo, en el siglo XIX, el matemático Karl Weierstrass creó una función continua en todas partes, pero no diferenciable en ningún lugar, que puede considerarse un tipo de fractal. Otros como Georg Cantor y Helge von Koch también contribuyeron al desarrollo de las primeras formas de geometría fractal.

Los fractales son estructuras que muestran auto-similitud a diferentes escalas. Esto significa que pequeñas porciones de un fractal se parecen al todo y este patrón se repite a diferentes niveles de tamaño. A diferencia de las figuras geométricas tradicionales, los fractales tienen dimensiones no enteras. La dimensión fractal es una manera de cuantificar la complejidad de un fractal, indicando cómo cambia su detalle con la escala. Los fractales pueden tener una complejidad infinita, con detalles que no desaparecen por más que se aumente el nivel de amplificación. Los fractales son, generalmente, generados por procesos iterativos o recursivos, donde una operación simple se repite numerosas veces. Los fractales no son solo construcciones matemáticas; aparecen en numerosos sistemas naturales

Imagen fractal construida con CHAT GPT con DALL-E

 como costas, montañas, sistemas vasculares y patrones climáticos. Además, tienen aplicaciones en diversas áreas como en Física, Medicina, Arte e Ingeniería.

Los fractales demuestran extremadamente cómo lo complejo puede originarse a partir de reglas simples. Esta idea resuena en muchos aspectos de la vida y la Ciencia, sugiriendo que los sistemas aparentemente complejos pueden tener fundamentos simples. La naturaleza auto-similar e infinita de los fractales puede ser un recordatorio de la infinitud en el mundo natural y en nuestras propias percepciones. En el arte y la filosofía, puede representar conceptos como la eternidad, la repetición constante o la idea de que el universo es fractal en sí mismo. Los fractales a menudo se generan a través de procesos caóticos, mostrando cómo puede surgir un orden sorprendente y una estructura definida del caos. Esto puede ser una metáfora poderosa para encontrar estabilidad y patrones en medio del aparente desorden de la vida. Visualmente, los fractales son a menudo impresionantemente hermosos, ofreciendo una fusión de arte y matemáticas. Esto puede inspirar un aprecio por la belleza inherente en los patrones matemáticos y en las leyes de la naturaleza. La propiedad de auto-similitud de los fractales, donde las partes reflejan el todo, puede transmitir una sensación de interconexión y unidad. En un contexto más amplio, esto puede sugerir cómo las partes individuales de un sistema (o incluso de la sociedad) están intrínsecamente vinculadas al conjunto. En la tecnología y el arte, los fractales inspiran innovación y creatividad. En el arte, ofrecen una forma única de explorar patrones y diseños, mientras que, en la Ciencia y la Ingeniería, los principios fractales se aplican en áreas como la optimización de redes, la creación de algoritmos y el diseño de estructuras eficientes. La naturaleza de múltiples escalas de los fractales puede ofrecer una perspectiva única sobre la importancia de la escala y la relatividad en nuestra comprensión del mundo, recordándonos que nuestra visión de la realidad depende en gran medida de nuestro punto de observación. Así, los fractales, más allá de su valor científico y matemático, tienen un significado profundo y polifacético que abarca diversas áreas del pensamiento y la expresión humana.

Pero la belleza o el atractivo o la descripción matemática no es todo. El interrogante se centra en que es lo que impulsa la formación de los fractales. Algo parece evidente y es que la formación de fractales está impulsada por patrones repetitivos que se manifiestan a diferentes escalas, un concepto conocido como auto-similitud. Los fractales son estructuras geométricas que se repiten a diferentes niveles de magnificación, lo que significa que sus partes más pequeñas tienen una apariencia similar al todo. Este fenómeno se observa tanto en procesos matemáticos como en formaciones naturales.

En Matemáticas, los fractales se generan a través de ecuaciones recursivas que se repiten infinitamente. Cada repetición de la ecuación agrega un nivel de complejidad a la estructura, creando patrones que se parecen entre sí independientemente del nivel de magnificación. En la naturaleza, los fractales surgen debido a la manera en que los procesos físicos y biológicos interactúan y se influyen mutuamente a diferentes escalas. Por ejemplo, la formación de cristales de hielo, la ramificación de los árboles, las costas y los ríos y la estructura de los pulmones y vasos sanguíneos son ejemplos de patrones fractales en la naturaleza. Estos patrones permiten una eficiencia y adaptabilidad óptimas en diferentes contextos ambientales y biológicos. Por lo tanto, la formación de fractales es un resultado fascinante de procesos repetitivos que ocurren tanto en sistemas matemáticos abstractos como en complejas estructuras naturales.

Podemos construir un fractal de diversos modos. podemos dibujar o pintar un fractal a mano. Un ejemplo simple es el Triángulo de Sierpinski. Comenzamos dibujando un triángulo equilátero y, luego, iniciamos el proceso de subdivisión en triángulos más pequeños en cada uno de los triángulos resultantes. Podemos utilizar técnicas de origami o corte de papel para crear fractales. El Copo de Nieve de Koch es un ejemplo que se puede hacer cortando y doblando papel de manera repetitiva. Podemos crear estructuras fractales tridimensionales usando materiales como arcilla, plastilina, o incluso piezas de LEGO. Por ejemplo, podemos construir una versión tridimensional del Conjunto de Menger. Podemos apelar a la Naturaleza cultivando u observando, por ejemplo, los patrones fractales en plantas como el Romanesco o en la formación de cristales de hielo. Podemos crear fractales con cuerdas o hilos. Un ejemplo es el Fractal de Hilbert, que se puede hacer enlazando un hilo a través de una serie de clavos en un tablero siguiendo un patrón específico. También podemos obtener fractales mediante algunos experimentos científicos simples como la electrodeposición o las reacciones químicas que producen patrones fractales. Recordemos que la clave de los fractales es la repetición de un patrón a diferentes escalas, así que cualquier técnica que elegida debe permitir replicar un patrón de manera auto-similar en diferentes niveles de magnificación o reducción.

La reacción BZ generalmente involucra una mezcla de bromato de potasio, ácido malónico, y sulfato de manganeso o bromuro de cerio como catalizador, en un medio ácido. Cuando esta mezcla reacciona, muestra patrones de concentración temporales y espaciales que pueden ser fractales. Estos patrones surgen debido a la naturaleza auto-organizativa de la reacción y la difusión de los reactivos y productos a través del medio.

La reacción BZ típicamente incluye los siguientes componentes: un oxidante, que generalmente bromato potásico (BrO₃K ​); un reductor, que frecuentemente es el ácido malónico (CH₂(COOH)₂) o también el ácido cítrico, C₆H₈O_{7 ;}    un catalizador, usualmente un metal de transición, como el sulfato de manganeso (MnSO₄ ​) o sales de cerio y un medio ácido como el ácido sulfúrico (H₂SO₄), para mantener el medio ácido. La reacción ocurre en una solución acuosa y se caracteriza por una serie de reacciones redox, auto-mantenidas que conducen a cambios periódicos en la concentración de los reactivos. Estos cambios se manifiestan en forma de patrones de colores cambiantes, especialmente cuando se usa un indicador de redox (como el azul de bromotimol) que cambia de color en respuesta a los cambios en el estado redox. Uno de los aspectos más fascinantes de la reacción BZ es la formación de patrones temporales y espaciales, como espirales y ondas concéntricas. Estos patrones son ejemplos de estructuras disipativas, que son estructuras que se forman y se mantienen lejos del equilibrio termodinámico, consumiendo energía del entorno y disipándola en forma de calor. La reacción BZ es importante en Química Física y en la teoría de sistemas dinámicos, porque es un ejemplo real de cómo pueden surgir patrones complejos y comportamientos caóticos en sistemas químicos. También ha sido estudiada en el contexto de la teoría de autómatas celulares y tiene aplicaciones en el estudio de reacciones químicas no lineales y en la comprensión de procesos biológicos que involucran reacciones oscilantes.

Otro ejemplo menos complejo y más seguro es la cristalización. Algunos procesos de cristalización, especialmente cuando se realizan en soluciones sobresaturadas, pueden formar estructuras fractales. Por ejemplo, la cristalización de la sal común (cloruro de sodio) o del azúcar, puede generar patrones fractales bajo las condiciones adecuadas.

En la electrodeposición, los fractales pueden producirse, debido a la distribución no uniforme de los iones en la disolución y las irregularidades en la superficie del electrodo. Esto puede conducir una ratio de crecimiento variable en diferentes partes del electrodo. Los fractales en la electrodeposición son a menudo el resultado de un crecimiento limitado por la difusión. Esto significa que el proceso está controlado por la tasa a la que los iones en la disolución pueden difundirse hacia el electrodo. Durante la electrodeposición, se forman ramificaciones a medida que los iones metálicos se reducen y se depositan en el electrodo. Estas ramificaciones pueden desarrollarse de manera auto-similar, creando estructuras que se asemejan a árboles o corales, que son fractales naturales. Los patrones específicos y la naturaleza de los fractales en la electrodeposición dependen en gran medida de las condiciones experimentales, como la concentración de iones, la temperatura, la intensidad de la corriente eléctrica, y la composición del electrodo.

Uno de los ejemplos más comunes de fractales en la electrodeposición se observa en la deposición de metales como el cobre o la plata. Bajo ciertas condiciones, estos metales pueden formar estructuras dendríticas complejas. La formación de fractales en la electrodeposición es un área de interés en la investigación de patrones y procesos de crecimiento, proporcionando aspectos profundos en áreas como la metalurgia, la ciencia de materiales y la física del estado sólido.

¿Por qué se forman los fractales, que fuerzas y por qué impulsan a que surjan los fractales? Muchos sistemas naturales tienden hacia un estado de auto-organización, donde elementos simples se combinan siguiendo reglas básicas para formar patrones complejos. Esto es común en sistemas biológicos, geológicos, físicos y químicos. En matemáticas, los fractales se generan a través de procesos iterativos o recursivos. Un conjunto simple de reglas se aplica repetidamente y cada iteración del proceso parte de la salida de la iteración anterior, llevando a la aparición de patrones complejos y auto-similares. En sistemas dinámicos, especialmente aquellos que exhiben comportamiento caótico, pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden resultar en grandes diferencias en los resultados, lo que a menudo conduce a la formación de fractales. El caos y la no linealidad son fundamentales en la generación de patrones fractales en muchos sistemas naturales y matemáticos. Algunos patrones fractales emergen en procesos donde el crecimiento o la formación de estructuras está limitado por la tasa de difusión de algún componente, como en la cristalización o la electrodeposición.: En Biología, los fractales a menudo emergen como una solución eficiente para maximizar el intercambio de recursos en un espacio limitado. Por ejemplo, los sistemas de ramificación en árboles y pulmones permiten una maximización del acceso al aire o a la luz solar. En geología, los patrones fractales pueden resultar de la ruptura de materiales bajo tensión (como en las grietas en rocas) donde los procesos de fractura siguen caminos que se auto-repiten a diferentes escalas. En reacciones químicas como la reacción de Belousov-Zhabotinsky, los patrones fractales surgen en sistemas que se mantienen lejos del equilibrio termodinámico, donde las reacciones oscilantes crean patrones periódicos o auto-similares.

Estas fuerzas y principios subyacentes muestran cómo los fractales son un producto natural de la búsqueda de eficiencia, estabilidad y auto-organización en diversos sistemas. El estudio de los fractales no solo revela patrones estéticamente fascinantes, sino que también proporciona una comprensión más profunda de los procesos fundamentales en matemáticas, física, química y biología.

Al superponer un líquido sobre otro de densidad y temperatura distintas, se forma un fractal, al entran en contacto, ya que se establece un gradiente de densidad. Los líquidos más calientes tienden a ser menos densos y ascienden, mientras que los más fríos y densos tienden a bajar. Estos gradientes de densidad y temperatura pueden generar patrones de flujo conocidos como de convección. La convección tiene lugar cuando el calor se transfiere a través de un fluido en movimiento. En ciertas condiciones, estos patrones de flujo pueden tomar formas complejas y auto-similares, característicos de los fractales.: En algunos casos, la interacción entre líquidos de diferentes densidades y temperaturas puede conducir a inestabilidades. Estas inestabilidades pueden aumentar la complejidad del sistema y llevar al desarrollo de patrones turbulentos que pueden tener características fractales. Dos de los fenómenos más comunes que pueden resultar en la formación de patrones fractales en fluidos son las inestabilidades de Rayleigh-Taylor y la de Kelvin-Helmholtz. La inestabilidad de Rayleigh-Taylor ocurre cuando un fluido más pesado está sobre un fluido más ligero, mientras que la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz se da cuando hay un cizallamiento de velocidad entre dos fluidos. La difusión de calor y materia entre los líquidos también juega un papel en la formación de estructuras fractales. A medida que los líquidos se mezclan, los procesos de difusión pueden crear patrones complejos.

La observación y estudio de estos patrones no solo es importante desde un punto de vista científico para comprender la dinámica de fluidos, sino que también puede tener aplicaciones prácticas en ingeniería y ciencia de materiales, así como en la comprensión de fenómenos naturales como la formación de nubes, patrones climáticos y movimientos oceánicos.

La Ciencia no solo describe lo que se observa, sino que busca explicar los procesos que tienen lugar. La recopilación de datos y la observación de los fenómenos naturales o experimentales, lleva a que, basándose en estas observaciones, los científicos proponen hipótesis que intentan explicar las causas de lo que se observa. Una hipótesis es una afirmación tentativa que puede ser probada. Las hipótesis son sometidas a pruebas a través de experimentos controlados, donde se manipulan variables para evaluar los efectos y validar o refutar la hipótesis. A partir de los resultados experimentales, los científicos desarrollan modelos y teorías que buscan explicar de manera más amplia los mecanismos y principios subyacentes a los fenómenos observados. Una teoría o modelo exitoso no solo explica los datos existentes, sino que también puede predecir nuevos fenómenos o resultados experimentales, lo que a su vez puede llevar a nuevas hipótesis y estudios. Los hallazgos y teorías son sometidos a la revisión y crítica de la comunidad científica a través de publicaciones y discusiones. Este proceso de revisión por pares ayuda a garantizar la validez y fiabilidad de las conclusiones científicas.

Este enfoque sistemático y riguroso permite a los científicos no solo describir lo que ocurre en el mundo, sino también entender las leyes y principios que lo rigen. La capacidad de la Ciencia para descubrir y explicar las causas de los fenómenos es lo que permite el desarrollo de nuevas tecnologías, tratamientos médicos, soluciones a problemas ambientales y una comprensión más profunda del universo. A menudo se confunde que el conocimiento empírico, que permite generar un proceso o un resultado, es una explicación científica del mismo; se describen los ingredientes, aunque nada se diga o conozca sobre las leyes que rigen el proceso. La descripción matemática en sí, no explica el proceso, solo facilita la construcción de la hipótesis. El cómo ocurre el proceso, qué lo desencadena, las leyes que lo rigen son los argumentos que construye la Ciencia. En la génesis de los fractales hay mucha ciencia, por cierto, gran parte de ella, si no toda, todavía sin explicar.