Pensándolo bien...

Quizás sea buen momento un principio de año para reflexionar sobre la realidad. Entre el mundo virtual y el real, cada vez con mayor incidencia nos debatimos por encontrar explicación a nuestra existencia y el ámbito en el que nos realizamos. Los avances científicos nos sumen en ese marasmo de propuestas en el que es preciso tener criterio para desenvolverse. Con más frecuencia nos planteamos las opciones posibles de una realidad que se nos escapa por los resquicios de los argumentos.

Cómo es el mundo, es un interrogante recurrente. Desde la ignorancia, en más ocasiones de las recomendables, pensamos que ya lo sabemos todo. Nada más lejos de la realidad. Con una posición naif, algunos afirman que la evolución, simplemente es el incremento de la complejidad. Pero con ello no explicamos nada y, en todo caso, la flecha que impone un recorrido tal no se desvela. Muchos científicos acreditados se han ocupado de ello, sin averiguar todavía, como usar sus propuestas para obtener algo aceptable como resultado.

Entre otros, Feynman se ocupó de esta cuestión, proponiendo la integral de camino que lleva su nombre, que predice con precisión el comportamiento de cualquier sistema cuántico, lo que para algunos implica un camino, una forma de acercarse a la realidad. Su naturaleza integral viene a concitar una suma de posibilidades imaginables. Otra cosa es como se efectúa la suma.

La integral de camino de Feynman, también conocida como integral de trayectoria de Feynman, es un método fundamental en mecánica cuántica, desarrollado por el físico Richard Feynman. Este enfoque ofrece una formulación alternativa a la mecánica cuántica tradicional, presentando una perspectiva distinta sobre cómo los sistemas cuánticos evolucionan con el tiempo.

En la mecánica cuántica tradicional, la evolución de un sistema cuántico se describe mediante la ecuación de Schrödinger, donde la función de onda del sistema cambia de manera continua y determinista a lo largo del tiempo. Sin embargo, la integral de camino de Feynman describe esta evolución de manera diferente. La idea clave, tras la integral de camino, es considerar todas las posibles trayectorias (caminos) que una partícula puede efectuar entre dos puntos en un espacio-tiempo dado. En lugar de describir un único camino definido (como en la mecánica clásica), en la mecánica cuántica una partícula explora todos los caminos posibles simultáneamente. La integral de camino de Feynman asigna un número complejo (amplitud de probabilidad) a cada camino posible y la probabilidad de que ocurra un evento específico se obtiene sumando todas estas amplitudes (un proceso conocido como interferencia cuántica). Así pues, la integral de camino de Feynman no solo proporciona una nueva forma de entender la mecánica cuántica, sino que también ha resultado ser una herramienta poderosa en teoría cuántica de campos, física estadística y en la formulación de teorías de gravedad cuántica. Además, ha inspirado numerosos desarrollos en matemáticas y física teórica.

Se han desarrollado muchas alternativas para llevar a cabo dicha integral para los diferentes sistemas cuánticos concebibles. La mezcla de las formas concebibles del espacio y el tiempo, produce, como consecuencia, un universo como resultado final. La cuestión es que la suma de las realidades posibles descarga un papel poco clarificador sobre las alternativas que deben incluirse en esa integración. Mientras que la Mecánica ondulatoria de Schrödinger, de 1927, describe cómo evolucionan las partículas con el tiempo, la alternativa de Dirac de 1933, concebía que las partículas toman un camino de la acción, que emplea el menor tiempo y consume la menor energía. Sobre esta opción, Feynman construyó su alternativa del camino integral, en 1948.

Un experimento fundamental en la concepción cuántica de los sistemas materiales fue el de la doble rendija. La formación de las franjas de interferencia, incluso cuando se envía una sola partícula, reveló que lo que alcanza las rendijas es una onda y llega a ambas para justificar el patrón de interferencia que se recoge tras el paso de las mismas por las rendijas. Los frentes de onda interfieren y producen una serie de zonas oscuras y otras más claras, indicando la probabilidad de donde podría finalizar una partícula si fuera detectada. Básicamente, en una imagen plástica, las rendijas son alcanzadas por una especie de ola que interfiere consigo mismo al atravesar las rendijas. Detrás se evidencia la zona donde es más probable detectarlas.

La cuestión es que el hecho de que se dé la interferencia indica que los dos caminos, a través de las rendijas, son posibles. Si se incrementa el número de rendijas se modifica el patrón de interferencia, respondiendo a que todas las rutas de acceso se ven alcanzadas. De aquí la concepción de resumir el hecho sumando todas las rutas, que en el caso límite de que toda la pared se convierta en una ranura, se produciría un punto brillante en la pantalla posterior a las ranuras. Feynman proponía, pues, un número infinito de caminos para sumar. Para cada camino, calculamos la acción, que implica el tiempo y la energía para atravesar el camino y esto nos proporciona la amplitud que representa la probabilidad de que una partícula viaje por ese camino. La amplitud total es la integral de todos los caminos posibles.

Reparemos que, de nuevo, surge el infinito, con las incomodidades que genera. Básicamente, desde el punto de vista conceptual, se trata de que las partículas se mueven en el espacio por infinitos caminos posibles. Esto contribuye a fomentar la sensación de que no sabemos muy bien lo que está pasando. Se han obtenido resultados satisfactorios. Se ha aplicado a la fuerza fuerte, que mantiene unidas las partículas en los núcleos. Se han empleado trucos, como hacer imaginario el tiempo, lo que convierte las amplitudes en números reales. En mecánica cuántica y en particular en la formulación de la integral de camino de Feynman, la introducción del concepto de «tiempo imaginario» permite que las amplitudes de probabilidad se conviertan en números reales, pero este cambio tiene implicaciones y contextos específicos. El tiempo imaginario se refiere a un cambio de variable en el que el tiempo t se sustituye por un tiempo imaginario τ mediante la relación τ = it, donde i es la unidad imaginaria. De esta forma las amplitudes de probabilidad, que en el tiempo real son generalmente números complejos, pueden convertirse en números reales en el tiempo imaginario. Esto se debe a que la fase exponencial compleja, que normalmente aparece en las amplitudes de probabilidad, se convierte en un factor exponencial real. Este enfoque es particularmente útil para relacionar la teoría cuántica de campos con la física estadística. Con el tiempo imaginario, la integral de camino de Feynman toma una forma similar a las integrales que aparecen en mecánica estadística, facilitando el estudio de sistemas cuánticos a temperatura finita. El uso del tiempo imaginario simplifica los cálculos matemáticos, ya que las integrales se vuelven más manejables. En el contexto de la teoría de la relatividad y la Cosmología, el uso del tiempo imaginario conduce a lo que se conoce como espacios o universos «Euclidianos», donde el tiempo se trata de manera análoga a las dimensiones espaciales. Es importante notar que el tiempo imaginario no es un concepto que se utilice en todas las aplicaciones de la mecánica cuántica, sino que es una herramienta matemática utilizada en ciertos contextos teóricos para simplificar los cálculos y establecer conexiones con otras áreas de la física. La física observada en el mundo real aún opera dentro de un marco de tiempo real.

En tiempo reciente, estamos muy interesados en el origen cuántico de la gravedad, en una constante búsqueda infructuosa hasta el presente, en esa pretensión de lograr una teoría unificada. Einstein apostó por concebir a la gravedad como resultado de la curvatura del espacio tiempo. Tanto la longitud a medir, como el tiempo a controlar, cambian de un lugar a otro. El campo que los integra resulta moldeable. Es concebible pues, que, en el ámbito cuántico, el campo espacio-tiempo debiera ser maleable, también. Así, la integral de camino debe reflejar el comportamiento de las partículas en el campo cuántico, también.

La naturaleza abstracta y probabilística de la teoría cuántica, mostrando un paisaje etéreo con trayectorias que divergen y convergen y figuras fantasmales que simbolizan diferentes probabilidades. Imagen creada con Chat GPT con DALL-E.

La cuestión que enfrenta la concepción de Feynman consiste en identificar cuando se considera la forma del espacio-tiempo, ¿qué es lo posible? Se propone que el espacio-tiempo puede estar dividido para permitir situar ubicaciones o puede concebirse como perforado por una especie de tubos, que se han dado en denominar agujeros de gusano, que unen puntos, posiciones. En el marco de Einstein no es concebible el cambio de estas formas, porque se rompería la causalidad. Queda sin posible concepción si la gravedad y el espacio-tiempo pueden implicarse en el nivel cuántico y qué alternativas son razonablemente aceptables en tal nivel con una descripción integral como la que propone Feynman. Hawking concilia estas formas con las del espacio. Impulsó la consideración de un tiempo imaginario, porque lo convierte en una dimensión comparable a la del espacio. En este marco, no cabe apelar a la causalidad para que los agujeros de gusano se deterioren en un marco atemporal. Esto llevó a Hawking a proponer que el tiempo comenzó con el Big Bang.

La servidumbre de estas concepciones es que el tiempo pierde la connotación de realidad y el resultado es que el camino euclidiano integral no es muy físico. Una propuesta alternativa es la de la científica Loll, que sumando muchas formas de espacio-tiempo consiguió describir algo parecido a nuestro Universo, en el que las partículas se mueven en línea recta. La investigación sigue abierta. Los caminos que no coinciden con la línea recta tienen una amplitud definida. El hecho de que las amplitudes sean números complejos solo indica el rumbo de la dirección y dos amplitudes que corresponden a sentidos contrarios, se contrarrestan y su suma es cero. Por el contrario, cuanto se apunta en la misma dirección la suma se refuerza amplificando. Lo cierto y verdad es que todos los caminos tienen una determinada probabilidad y actúan unos contra otros y al final solo prevalece el que corresponde a la línea recta, que es la que coincide con el camino clásico, para el que la acción es la menor posible. Las opciones cuánticas indeterminadas se resumen en el camino clásico. Ya Feynman, evidenció que la integral de camino es equivalente a la ecuación de Schrödinger. En la concepción de que las partículas son excitaciones en los campos cuánticos, cada partícula se mueve por diferentes caminos, modulado por el campo. Sumamos las configuraciones de los campos, identificamos las condiciones iniciales y finales del campo, describimos las historias posibles que permite la vinculación entre esas configuraciones inicial y final del proceso.

Esta es una descripción de la formulación de la integral de camino en el contexto de la teoría cuántica de campos, en lugar de la mecánica cuántica de partículas. En la teoría cuántica de campos, la integral de camino de Feynman, se generaliza para sumar sobre todas las configuraciones posibles de los campos, en lugar de las trayectorias de partículas individuales. En lugar de considerar las posiciones de partículas en diferentes momentos, se consideran diferentes configuraciones de campos en todo el espacio. Cada configuración de campo representa un estado posible del campo en un momento dado. Se consideran todas las «historias» posibles que conectan una configuración de campo inicial con una configuración final. Estas historias son análogas a las trayectorias en la mecánica cuántica de partículas, pero en lugar de trayectorias de partículas, son evoluciones temporales de los campos. La integral de camino suma sobre todas estas “historias” posibles. A cada historia se le asigna una amplitud, que es una cantidad compleja y la suma de todas estas amplitudes da como resultado la amplitud total de transición del estado inicial al estado final. Al igual que en la mecánica cuántica de partículas, las probabilidades y los observables se calculan a partir de estas amplitudes totales.

Este enfoque es extremadamente poderoso en la teoría cuántica de campos, ya que permite el tratamiento de procesos complejos como las interacciones entre partículas y la creación y aniquilación de las mismas. Además, es fundamental para el desarrollo de la teoría de la electrodinámica cuántica, la cromodinámica cuántica y otras teorías de campo cuántico. Así, la integral de camino en la teoría cuántica de campos extiende la idea original de Feynman de sumar sobre todas las trayectorias posibles en la mecánica cuántica de partículas a sumar sobre todas las configuraciones posibles de campos en el espacio y el tiempo.

La integral de camino de Feynman es una herramienta conceptual y matemática en la mecánica cuántica que ofrece una perspectiva única sobre cómo pueden comprenderse los fenómenos físicos en el nivel cuántico. Su relación con lo que podríamos considerar como «realidad posible» es tan profunda como sutil y se relaciona con varias ideas clave en la física cuántica, como que, en la mecánica cuántica tradicional, los objetos cuánticos, como las partículas, no tienen trayectorias definidas. En cambio, existen en un estado de superposición, explorando todas las trayectorias posibles simultáneamente. La integral de camino de Feynman formaliza matemáticamente esta idea al considerar todas las trayectorias posibles que una partícula puede tomar y sumarlas para obtener una amplitud de probabilidad. La mecánica cuántica es fundamentalmente probabilística. La integral de camino de Feynman no predice un único resultado, sino que proporciona un marco para calcular las probabilidades de diferentes resultados. Esto significa que la «realidad» a nivel cuántico se comprende mejor en términos de probabilidades de diferentes posibilidades. Una consecuencia interesante de sumar sobre todas las trayectorias posibles es el fenómeno de interferencia cuántica. Los caminos no contribuyen de manera independiente a la amplitud final; en cambio, pueden interferir constructiva o destructivamente, lo que es crucial para fenómenos como las franjas de interferencia en los experimentos de la doble rendija. Aunque la integral de camino de Feynman es una formulación cuántica, en el límite de grandes tamaños o altas energías (el límite clásico), las trayectorias, que contribuyen significativamente a la integral, tienden a ser aquellas que se acercan a las trayectorias clásicas predichas por la mecánica de Newton. Esto ayuda a explicar cómo las reglas cuánticas «extrañas» dan lugar a la realidad clásica familiar en escalas más grandes. La integral de camino de Feynman también tiene implicaciones filosóficas, especialmente en relación con la interpretación de la mecánica cuántica. Desafía nuestras nociones intuitivas de causa y efecto y de cómo las cosas se mueven a través del espacio y el tiempo. La integral de camino de Feynman no sólo es una herramienta matemática en la física cuántica, sino que también proporciona una visión profunda de cómo podría ser la «realidad» a nivel cuántico, con todas sus complejidades y peculiaridades. Nos enseña que, en el reino cuántico, la realidad no es tan directa y determinista como en nuestra experiencia cotidiana a escalas más grandes.

Así, nuestra realidad es posible que sea la suma de las realidades posibles. Formidable idea para comenzar el año.