Pensándolo bien...
La integral de camino de Feynman es una formulación de la mecánica cuántica desarrollada por el físico Richard P. Feynman en la década de 1940. Es una forma alternativa, pero completamente equivalente, a la formulación de Schrödinger o la formulación de Heisenberg. Esta integral es especialmente poderosa en física de partículas, teoría cuántica de campos y teoría estadística.
En términos simples, la integral de camino consiste en sumar todas las posibles trayectorias que una partícula puede seguir entre dos puntos, no solo la trayectoria "clásica", que es la que usaríamos en física clásica. Esta suma se hace sobre todos los caminos posibles en el espacio-tiempo.
Matemáticamente, se escribe algo así como:
El significado es poderoso. En Física Clásica, una partícula sigue una única trayectoria que minimiza la acción, lo que se conoce como principio de mínima acción. Pero en mecánica cuántica, según Feynman, cada camino posible contribuye con una amplitud de probabilidad; las interferencias, tanto constructivas como destructivas, entre estos caminos son las que determinan el resultado observable y lo que realmente se observa es el resultado global de la suma de todas las trayectorias posibles, no una sola. Visto así, el comportamiento cuántico es la suma de infinitas posibilidades, cada una ponderada por su acción.
Lo importante y destacable de esta valoración es que enmarca la unificación de mecánica cuántica y principio de acción, ya que Feynman mostró cómo el principio clásico de mínima acción se generaliza en el mundo cuántico. Es un método práctico en teoría cuántica de campos y se convierte en la base del uso de diagramas de Feynman y permite calcular interacciones entre partículas. Supone una intuición física poderosa, porque nos ofrece una visión del Universo donde todas las historias posibles se incluyen y consideran, y la realidad emerge de sus interferencias. Tiene aplicaciones en otras áreas, ya que la integral de camino aparece también en estadística, economía, biología, y teoría de cuerdas.
En suma, si bien en Física clásica, se elige la ruta más corta o más rápida. En la formulación de Feynman, la partícula explora todas las rutas posibles y luego, cada ruta contribuye con un "ritmo" (fase), y al sumarse todas estas contribuciones, se obtiene el comportamiento que observamos. Predice con precisión el comportamiento de cualquier sistema cuántico: un electrón, un rayo de luz o incluso un agujero negro. La integral de trayectorias ha cosechado tantos éxitos que muchos físicos la consideran una ventana directa al corazón de la realidad.
Imagen creada con ayuda de ChatGPT con DALL-E
La ecuación, es más una filosofía que una fórmula rigurosa y sugiere que la realidad es una integración (suma) de las realidades imaginables. Una servidumbre es que no indica la forma de llevar a cabo esa integración, lo que ha impulsado propuestas para llevarla a cabo en los distintos sistemas a los que se ha aplicado. No han faltado los intentos de búsqueda de la trayectoria definitiva. En el caso del Universo, se trata de combinar todas las formas concebibles de espacio y tiempo concluyendo en una realidad suma de las realidades posibles, lo que desemboca es dilucidar cuales son las realidades posibles a incluir en esa combinación.
La evolución de la mecánica cuántica parte de la propuesta de la ecuación de Schrödinger que en 1926 describía la evolución temporal de los estados ondulatorios de las partículas. Posteriormente, en 1928 plantea una alternativa basada en el concepto de que las cosas toman el camino de la mínima acción para un desplazamiento y la razón es que requiere menor tiempo y energía. Esta es la idea que desarrolló Feynman en 1948.
El telón de fondo radica en el experimento de la doble rendija, dado que lo que sugiere es que a través de las rendijas se mueven ondas asociadas a las posibles ubicaciones de las partículas, con lo que los dos frentes de onda emergentes generan los picos de interferencia que indican donde podría encontrarse a la partícula. La cuestión es que, así interpretado el experimento la interferencia resultante implica que hay una realidad física de los caminos posibles de la partícula que atraviesa la barrera. La integral de camino concreta que así se comportan las partículas, incluso cuando no hay barreras ni rendijas que atravesar. Se trata de sumar todas las opciones y el resultado ofrece la conclusión.
Feynman traduce que para cada trayectoria se determina la acción, lo que incñuye el tiempo y la energía que se requiere para recorrerla y a partir de este punto se obtiene la amplitud que traduce la probabilidad de que una partícula recorra esa trayectoria. Al sumar todas las amplitudes, se obtiene la amplitud total para una partícula que vaya de un punto a otro. Eso es lo que ofrece la integral de todas las trayectorias. Es importante que las amplitudes sean números complejos, porque los reales están asociados a puntos en una línea, mientras que los complejos se sitúan en el espacio como vectores apuntando a diferentes direcciones que se corresponden con las distintas trayectorias. Dos vectores con sentido opuesto en la misma dirección se anulan.
La sorprendente conclusión es que cuando una partícula viaja a través del espacio, las amplitudes correspondientes a trayectorias más o menos rectas apuntan en la misma dirección y se van sumando las amplitudes, amplificando el resultado. Ahora bien, cuando las trayectorias no son rectas, sino que apuntan en todas direcciones hay trayectorias que se contraponen y quedan finalmente las trayectorias rectilíneas, que viene a corroborar el que la trayectoria clásica de mínima acción sea única. Ya Feynman evidenció que la integral de camino es equivalente a la Ecuación de Schrödinger. Claro que aporta una visión más intuitiva para tratar el marco cuántico, consistente en sumar todas las posibilidades.
En el mundo clásico, la trayectoria de una partícula parece una línea recta, una respuesta natural a la lógica de la mínima acción, ya que es el camino más simple, más directo, el que requiere el menor esfuerzo según el cálculo de la acción. Sin embargo, al internarnos en el ámbito cuántico, esta certeza se disuelve, porque las trayectorias ya no son únicas ni obligadamente rectilíneas. En su lugar, se despliega un abanico inmenso de posibilidades y la partícula ya no "elige" un único camino, sino que explora todos los caminos posibles entre dos puntos, incluso los más rebuscados, improbables o erráticos.
La formulación de la integral de camino de Feynman nos invita precisamente a considerar este universo cuántico donde cada trayectoria imaginable contribuye con una cierta "voz" a la evolución de un sistema. Cada camino aporta una amplitud de probabilidad, ponderada por un factor de fase que depende de la acción clásica. Sin embargo, no todas las trayectorias tienen el mismo peso en el resultado final. Las trayectorias que divergen radicalmente, que zigzaguean o que se contraponen en dirección, generan interferencias destructivas entre sí y sus contribuciones se cancelan mutuamente. Solo aquellas trayectorias próximas a la clásica, que es la de mínima acción y suman de forma coherente, constructiva.
Así, el camino rectilíneo no es elegido de antemano, sino que "sobrevive" a un proceso cuántico de depuración, que es el resultado neto de todas las trayectorias posibles al cancelarse las demás. Lo clásico, paradójicamente, emerge de lo cuántico no por exclusión sino por interferencia. Este fenómeno, donde el caos de posibilidades se depura hasta revelar una trayectoria privilegiada, corrobora retroactivamente la validez de la trayectoria clásica, no por negación de lo cuántico, sino por su integración.
Feynman, con su revolucionaria propuesta, mostró que esta visión intuitiva, como es la de sumar todos los caminos, es completamente equivalente a la ecuación de Schrödinger, aunque más plástica, más cercana a una metáfora visual del comportamiento subatómico. Donde Schrödinger trabaja con funciones de onda en una formulación diferencial, Feynman ofrece una narrativa de caminos, de historias alternativas, todas coexistentes hasta que la interferencia define lo observable.
En este sentido, la integral de camino no solo es un método de cálculo; es una forma de pensar el mundo. Nos recuerda que la realidad cuántica no está hecha de certidumbres, sino de superposiciones, y que lo que vemos como trayectoria rectilínea no es sino el residuo coherente de una danza infinita de posibilidades.
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