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Supongamos que en una línea de autobuses urbanos hay dos autobuses que tardan (cada uno) una hora en dar una vuelta completa. De esta forma, en cada parada, los autobuses pasarían cada 30 minutos (60/2). Así, si vamos a una parada sin conocer sus horarios, en promedio deberíamos esperar 15 minutos (sería una espera al azar entre 0 y 30 minutos). ¡Todos sabemos que en la realidad esto no es cierto!

En la vida real, los tiempos entre autobuses no son homogéneos porque se ven afectados por semáforos, atascos, diferentes conductores, etc. Por ejemplo, para simplificar, supongamos que en una parada los tiempos entre autobuses son 10 y 50 minutos, al azar. El tiempo medio entre autobuses seguiría siendo 30=(10+50)/2 pero, en este caso, al ir a la parada, es cinco veces más probable que nos toque un autobús «tardón», en el que tendríamos que esperar 25=50/2 minutos, que otro «rápido», en el que esperamos 5=10/2 minutos. De esta forma, el tiempo de espera medio sería (5 x 25+1 x 5)/6=130/6=21,67 minutos.

La paradoja del tiempo de espera afirma que si los tiempos entre autobuses siguen una distribución exponencial (un modelo diferente de la famosa campana de Gauss que se ajusta bien a este tipo de datos) con media arbitraria m, el tiempo de espera es m. De esta forma, si los autobuses tardan en promedio 30 minutos en pasar, ¡tendremos que esperar 30 minutos en promedio! Los que sepan algo de matemáticas y probabilidad pueden intentar demostrar esta paradoja (pondré la solución en mi página web de la UMU: https://webs.um.es/jorgenav/miwiki/doku.php).

Para minimizar este efecto, es muy importante hacer que los tiempos sean lo más homogéneos posibles (con menos dispersión), haciendo que incluso algunos autobuses se detengan unos instantes en algunas paradas. Así, es preferible que el tiempo entre autobuses sea siempre de 31 minutos, a que sean 10 o 50 minutos al azar. Los dispositivos GPS incorporados recientemente a los autobuses ayudan en este propósito y han mejorado (disminuido) estos tiempos de espera.

Este mismo efecto ocurre en las colas para pagar de los supermercados, ¡siempre nos toca la cola más lenta! Aquí la solución es hacer una única cola, yendo el cliente a la primera posición libre, como ya se hace en algunos supermercados.