Pensándolo bien...
La construcción de catedrales encierra un simbolismo extraordinario. No hay elemento, visible o no, que no forme parte de un minucioso plan en el que la geometría está en el subsuelo intelectual de la concepción de la edificación. El estilo gótico introdujo una forma especial de concebir las construcciones sagradas. Los aspectos externos, como la altura, intentando expresar la “magnificencia del creador” o el tratamiento de la luz, como portador de la claridad que requieren los asuntos religiosos, dando un portazo a la oscuridad del románico precedente, no son todo lo que está sumergido en estas magnificentes obras. Un plan, minuciosamente concebido e implementado, está sumergido, formando parte de las entrañas de un arte que ha propiciado monumentos increíblemente bellos, al tiempo que simbólicamente repletos de aspectos profundos.
La primera manifestación en la construcción de un templo gótico era el alzamiento de la “columna”. No tiene nada que ver con las columnas de los templos. Nos referimos a una columna que posteriormente desaparece, que no se le puede ver cuando visitamos la construcción acabada, pero que estuvo al inicio todo. Representa la conexión figurada entre la tierra y el cielo, el de las estrellas, el real. Como diría Charpentier, que analiza la Catedral de Chartres, como prototipo de las construcciones góticas, “es la primera manifestación del templo, surgido de la tierra”, la primera relación entre el lugar en el que se va a erigir y “el cielo que gira en torno al mismo”. La Columna, con la sombra que proyectaba, determinaba las dimensiones de la construcción, como proyección de las relaciones entre los cuerpos celestes. Las estaciones, solsticios y equinoccios establecían límites sobre la sombra que proyectaba la columna. La columna determinaba, así, el recinto del lugar sagrado. Las dimensiones del recinto estaban determinadas por la tradición y las marcaba la sombra de la columna.
Un enigma tradicional en la construcción de catedrales, respondía al enunciado siguiente: “Tres plantas han sostenido al Grial, una planta redonda, una cuadrada y una rectangular. Las tres tienen la misma superficie y su número es el 21”. Ciertamente los templos egipcios y griegos tenían planta rectangular; los templos galos y romanos tenían plantas cuadradas, así como Santa Sofía de Constantinopla y el Santa Sanctorum del Templo del Rey Salomón; finalmente las iglesias templarias tenían planta circular; en Inglaterra hay cuatro de ellas, construidas en torno al año 1099, cuando tuvo lugar la primera Cruzada, aunque la más famosa, que es la de Cambridge, se construyó en 1130 por la Fraternidad del Santo Sepulcro.
La Catedral de Chartres es rectangular y el 21 hace referencia a 2 y 1, planta rectangular cuya longitud es doble de su anchura, proporciones propias de los templos egipcios y griegos. La diagonal de tal rectángulo es Ö5. Si se le añade la anchura del rectángulo y se divide por 2, (Ö5+1)/2 obtenemos el límite de la serie de Fibonacci o el famoso número de Oro o razón áurea, 1.61803398874988…Como evidencia Charpentier, el cociente con el inverso (1.61803398874988…) / 0.61803398874988…= 1.61803398874988… x 1.61803398874988… = (1 + 0.61803398874988…) / 0.61803398874988 = 1.61803398874988… + 1 = 2.61803398874988… Pero, además, 2.61803398874988… x 6/5 = p y 6/5 es una buena aproximación al intervalo musical que corresponde a una tercera menor en la escala diatónica. Una especie de envoltura armónica, por tanto. Y es la planta rectangular 2/1 la que contiene la base de la transformación de una superficie rectangular en una con cabecera circular. En el fondo es una aproximación a la cuadratura del círculo, imposible, como es bien sabido de forma exacta, ya que mientras que en Matemáticas es imposible, en la práctica había que lograr en la construcción de los templos, que las tres plantas de igual superficie debían estar contenidas en la planta de la construcción, según el enunciado del enigma. Cabe apelar a que la geometría de la Naturaleza se cumple, solamente de forma aproximada y las figuras geométricas nunca son exactas: la flor de jazmín incluye cinco pétalos, pero no es un pentágono regular nunca. La irregularidad forma parte de su personalidad. Del mismo modo, una catedral en apariencia externa es regular, pero en el plano ya no lo es tanto, dado que las medidas humanas solo son aproximadas. Un cuadrado y un rectángulo de igual superficie, es simple obtenerlos. Un círculo de igual área que un rectángulo, solo requiere el cálculo del radio que corresponde a un área determinada, igual a la del rectángulo. Es un método aproximado, pero ya lo hemos advertido.
Con estas premisas, no vamos a introducir en los misterios del plano de una Catedral como la de Chatres. Charpentier, a partir de los diferentes autores que lo han tratado, llega a la conclusión de que la anchura del coro fue de 16.40 metros. Una planta rectangular 2 x 1, implica una longitud de 32,80m. y todo lleva a una medida de referencia de 0,82 metros. (20 x 0,82 = 16,40 metros ) y (40 x 0,82 = 32,80 m). La orientación es importante, dado que es el sol naciente del equinoccio el que sirve para establecer la referencia y la inclinación de la catedral sobre el paralelo; la posición al oeste del plano la marca la sombra de la columna al sol naciente del equinoccio, situada en un punto especial, al que se atribuyen aspectos telúricos, como una corriente de agua subterránea, que se buscaba en primer lugar, para decidir el asentamiento de la construcción. Trazados los cuatro puntos cardinales del lugar y situada la Columna en el punto asignado, el sol naciente del equinoccio proyectaba una sombra que suponía una longitud hasta diluirse aquélla. La orientación del eje longitudinal de la planta coincide con la latitud del lugar, de forma muy aproximada, dado que es de 47º, medido desde el eje este oeste, cuando su latitud real es de 48º26’52” N. Por cierto, la longitud de la columna se establece en relación con la talla del báculo que se atribuye a Aarón y “supuestamente conservado en el Arca de la Alianza”. Una dimensión de 0,82 metros en unidades actuales, es razonable. Bien, pues desde el centro, la sombra de la columna marcaría 11.234 unidades, una distancia desde el centro al lado menor de 7.68 metros, lo que supone que el lado menor del rectángulo es 16,40 metros y el lado mayor 32.80 metros La superficie de la planta es de 800 medidas de superficie, lo que supone 537,92 metros cuadrados.
Sin olvidar el enigma tradicional en la construcción de catedrales, que implicaba una planta redonda, una cuadrada y una rectangular, dado que ya tenemos la rectangular, nos vamos a ocupar, ahora, de las otras dos. Basta tomar la diagonal de la planta cuadrada coincidente con el eje mayor de la planta rectangular. Esto da, directamente la anchura del recinto cuadrado y marca los límites de los colaterales del coro, que coinciden con los de la nave. Como la planta cuadrada tiene la misma superficie, con un lado de Ö537,92 = 23,192 metros, o sea, las diagonales medirán 32,80 metros y la cuarta parte será de 8,20 metros. No es éste un número desconocido, dado que es la décima parte de la planta de la pirámide de Keops, estimada entre 230 y 232 metros cuadrados. No es menos sorprendente que la inclinación de la pirámide, con las dificultades que supone su medición, se sitúa en torno a 51º- 52º, ángulo que coincide con el de la estrella de siete puntas, que juega un papel decisivo en la planta de la Catedral porque es la que fundamenta la inclusión de la tercera superficie, cual es la circular.
La estrella de siete puntas tiene un significado simbólico y se puede construir muy fácilmente, prolongando la línea de la base de la planta rectangular y al hacer coincidir una de las puntas de la estrella con el eje mayor de la planta rectangular, prolongar desde el centro en el que se situó la columna para comenzar la construcción, siguiendo el eje de la segunda punta de la estrella, del lado de la prolongación que hicimos de la base de la planta rectangular. Ambas líneas se encontrarán en un punto P, situado en Chartres a 33,64 metros del eje de la planta rectangular. El constructor no debió conocer la geometría y empleó un procedimiento aproximado, una vez mas, consistente en la denominada cuerda del druida o cuerda de doce nudos, que presentaba 12 anudaciones situadas a una distancia fija y, por tanto, 13 “segmentos”. Concretamente formando un triángulo isósceles con dos lados de cuatro segmentos y el mayor de cinco, el ángulo entre uno de los lados iguales y el diferente, es aproximadamente de 51º, como se evidencia con trigonometría elemental y, justamente, es el que se precisa para construir la estrella de siete puntas. Uniendo el punto P con el vértice superior izquierdo de la planta rectangular, se establece un par de triángulos semejantes, que nos permiten aplicar el teorema de Tales y calcular el lado del triángulo situado sobre el eje longitudinal de la planta rectangular, lo que permite calcular la distancia entre el punto en el que cruza el eje longitudinal de la planta rectangular y el lado menor de la misma. Trazando una paralela al lado menor pasando por el punto en que cruza el segmento trazado desde P hasta el vértice superior izquierdo del rectángulo se configura un rectángulo cuya anchura es igual a la de la panta rectangular y el lado menor lo determinamos a partir de los triángulos semejantes anteriormente referidos. Si quisiéramos sustituir este rectángulo por un semicírculo, procederíamos igualando las áreas del rectángulo con la del semicírculo de donde obtendríamos el radio con el que trazar la rotonda del coro, común a todas las construcciones de este tipo. No es la cuadratura del círculo, pero el resultado es bastante aproximado, con un error de un centímetro.
Finalmente, solo falta obtener la panta circular a partir de la rectangular. Todos los empeños de la solución geométrica han sido estériles, pero las aproximadas resultan espléndidamente bellas. Si unimos el punto P con el centro del eje longitudinal de la planta rectangular y lo prolongamos, cortaremos al lado de la planta cuadrada en un punto, formándose así, dos triángulos semejantes, lo que nos permite determinar la distancia desde el punto en que corta la prolongación del segmento que une el punto P con el centro de la planta rectangular y el lado menor de la planta rectangular y mediante el teorema de Pitágoras obtendríamos el diámetro del círculo y el centro desde donde trazarlo, así como la superficie del mismo. El diámetro resulta ser de 26.17 metros y la superficie 537, 92 metros cuadrados, que reproduce la de la planta rectangular con un error, tan solo de 4 cm2 .
No se trata de un ejercicio de elocuencia geométrica, dado que la estrella que marca el límite del crucero se ha empleado en la determinación de la rotonda del coro y una línea que es el eje longitudinal, corta al lado opuesto en un punto y la distancia entre ambos es una buena aproximación del diámetro del círculo cuya superficie es la misma que la de las plantas cuadrad y rectangular. La planta circular permite disponer los pilares de la base del coro y de la unión de los cruceros. Situación y espesor de los pilares están determinados por las superficies consideradas. Las soluciones técnicas y geométricas iban de la mano. Hay más elementos de interés en la planta de la Catedral, como es que el rectángulo que excluye la rotonda del coro tiene las dimensiones de largo y ancho muy aproximadas a la razón de oro. Finalmente la longitud total vendrá dada por la adición de las tres plantas, rectangular, debajo la cuadrada con la diagonal en el eje de la catedral y a continuación la circular. La cuestión es que la planta cuadrada, en la catedral de Chartres, en su lado sudoeste tiene marcada una piedra blanca con un espiga de metal que el Sol ilumina, exactamente en el solsticio a mediodía del día 21.
Todo empezó con la columna del templo, le ayudó la cuerda del druida y una sucesión de equivalencias se desencadenó, siempre desde una geometría aproximada, capaz de resolver problemas técnicos de interés que involucran figuras geométricas bellas al tiempo que útiles. No se construían templos sólo por razones de culto, sino para generar recintos cargados de simbolismo que afloraban conocimientos acumulados que en los siglos XII y XIII solamente podían estar al alcance de muy pocos. Ya era conocimiento científico el que subyacía en los constructores de catedrales. Nada de magia, ni raro, sino conocimiento acumulado y puesto al servicio de las pocas actividades que requerían un conocimiento profundo para poder perdurar, como lo han hecho hasta nuestros días. Chartres, Reims, Amiens… que fueron pioneras. Después vinieron muchas otras. A la belleza visual, suman la tecno-científica del subsuelo. Cuando nos acercamos con seriedad, se nos revela un mundo que nos hace admirar a quienes lo hicieron posible.
La primera manifestación en la construcción de un templo gótico era el alzamiento de la “columna”. No tiene nada que ver con las columnas de los templos. Nos referimos a una columna que posteriormente desaparece, que no se le puede ver cuando visitamos la construcción acabada, pero que estuvo al inicio todo. Representa la conexión figurada entre la tierra y el cielo, el de las estrellas, el real. Como diría Charpentier, que analiza la Catedral de Chartres, como prototipo de las construcciones góticas, “es la primera manifestación del templo, surgido de la tierra”, la primera relación entre el lugar en el que se va a erigir y “el cielo que gira en torno al mismo”. La Columna, con la sombra que proyectaba, determinaba las dimensiones de la construcción, como proyección de las relaciones entre los cuerpos celestes. Las estaciones, solsticios y equinoccios establecían límites sobre la sombra que proyectaba la columna. La columna determinaba, así, el recinto del lugar sagrado. Las dimensiones del recinto estaban determinadas por la tradición y las marcaba la sombra de la columna.
Un enigma tradicional en la construcción de catedrales, respondía al enunciado siguiente: “Tres plantas han sostenido al Grial, una planta redonda, una cuadrada y una rectangular. Las tres tienen la misma superficie y su número es el 21”. Ciertamente los templos egipcios y griegos tenían planta rectangular; los templos galos y romanos tenían plantas cuadradas, así como Santa Sofía de Constantinopla y el Santa Sanctorum del Templo del Rey Salomón; finalmente las iglesias templarias tenían planta circular; en Inglaterra hay cuatro de ellas, construidas en torno al año 1099, cuando tuvo lugar la primera Cruzada, aunque la más famosa, que es la de Cambridge, se construyó en 1130 por la Fraternidad del Santo Sepulcro.
La Catedral de Chartres es rectangular y el 21 hace referencia a 2 y 1, planta rectangular cuya longitud es doble de su anchura, proporciones propias de los templos egipcios y griegos. La diagonal de tal rectángulo es Ö5. Si se le añade la anchura del rectángulo y se divide por 2, (Ö5+1)/2 obtenemos el límite de la serie de Fibonacci o el famoso número de Oro o razón áurea, 1.61803398874988…Como evidencia Charpentier, el cociente con el inverso (1.61803398874988…) / 0.61803398874988…= 1.61803398874988… x 1.61803398874988… = (1 + 0.61803398874988…) / 0.61803398874988 = 1.61803398874988… + 1 = 2.61803398874988… Pero, además, 2.61803398874988… x 6/5 = p y 6/5 es una buena aproximación al intervalo musical que corresponde a una tercera menor en la escala diatónica. Una especie de envoltura armónica, por tanto. Y es la planta rectangular 2/1 la que contiene la base de la transformación de una superficie rectangular en una con cabecera circular. En el fondo es una aproximación a la cuadratura del círculo, imposible, como es bien sabido de forma exacta, ya que mientras que en Matemáticas es imposible, en la práctica había que lograr en la construcción de los templos, que las tres plantas de igual superficie debían estar contenidas en la planta de la construcción, según el enunciado del enigma. Cabe apelar a que la geometría de la Naturaleza se cumple, solamente de forma aproximada y las figuras geométricas nunca son exactas: la flor de jazmín incluye cinco pétalos, pero no es un pentágono regular nunca. La irregularidad forma parte de su personalidad. Del mismo modo, una catedral en apariencia externa es regular, pero en el plano ya no lo es tanto, dado que las medidas humanas solo son aproximadas. Un cuadrado y un rectángulo de igual superficie, es simple obtenerlos. Un círculo de igual área que un rectángulo, solo requiere el cálculo del radio que corresponde a un área determinada, igual a la del rectángulo. Es un método aproximado, pero ya lo hemos advertido.
Con estas premisas, no vamos a introducir en los misterios del plano de una Catedral como la de Chatres. Charpentier, a partir de los diferentes autores que lo han tratado, llega a la conclusión de que la anchura del coro fue de 16.40 metros. Una planta rectangular 2 x 1, implica una longitud de 32,80m. y todo lleva a una medida de referencia de 0,82 metros. (20 x 0,82 = 16,40 metros ) y (40 x 0,82 = 32,80 m). La orientación es importante, dado que es el sol naciente del equinoccio el que sirve para establecer la referencia y la inclinación de la catedral sobre el paralelo; la posición al oeste del plano la marca la sombra de la columna al sol naciente del equinoccio, situada en un punto especial, al que se atribuyen aspectos telúricos, como una corriente de agua subterránea, que se buscaba en primer lugar, para decidir el asentamiento de la construcción. Trazados los cuatro puntos cardinales del lugar y situada la Columna en el punto asignado, el sol naciente del equinoccio proyectaba una sombra que suponía una longitud hasta diluirse aquélla. La orientación del eje longitudinal de la planta coincide con la latitud del lugar, de forma muy aproximada, dado que es de 47º, medido desde el eje este oeste, cuando su latitud real es de 48º26’52” N. Por cierto, la longitud de la columna se establece en relación con la talla del báculo que se atribuye a Aarón y “supuestamente conservado en el Arca de la Alianza”. Una dimensión de 0,82 metros en unidades actuales, es razonable. Bien, pues desde el centro, la sombra de la columna marcaría 11.234 unidades, una distancia desde el centro al lado menor de 7.68 metros, lo que supone que el lado menor del rectángulo es 16,40 metros y el lado mayor 32.80 metros La superficie de la planta es de 800 medidas de superficie, lo que supone 537,92 metros cuadrados.
Sin olvidar el enigma tradicional en la construcción de catedrales, que implicaba una planta redonda, una cuadrada y una rectangular, dado que ya tenemos la rectangular, nos vamos a ocupar, ahora, de las otras dos. Basta tomar la diagonal de la planta cuadrada coincidente con el eje mayor de la planta rectangular. Esto da, directamente la anchura del recinto cuadrado y marca los límites de los colaterales del coro, que coinciden con los de la nave. Como la planta cuadrada tiene la misma superficie, con un lado de Ö537,92 = 23,192 metros, o sea, las diagonales medirán 32,80 metros y la cuarta parte será de 8,20 metros. No es éste un número desconocido, dado que es la décima parte de la planta de la pirámide de Keops, estimada entre 230 y 232 metros cuadrados. No es menos sorprendente que la inclinación de la pirámide, con las dificultades que supone su medición, se sitúa en torno a 51º- 52º, ángulo que coincide con el de la estrella de siete puntas, que juega un papel decisivo en la planta de la Catedral porque es la que fundamenta la inclusión de la tercera superficie, cual es la circular.
La estrella de siete puntas tiene un significado simbólico y se puede construir muy fácilmente, prolongando la línea de la base de la planta rectangular y al hacer coincidir una de las puntas de la estrella con el eje mayor de la planta rectangular, prolongar desde el centro en el que se situó la columna para comenzar la construcción, siguiendo el eje de la segunda punta de la estrella, del lado de la prolongación que hicimos de la base de la planta rectangular. Ambas líneas se encontrarán en un punto P, situado en Chartres a 33,64 metros del eje de la planta rectangular. El constructor no debió conocer la geometría y empleó un procedimiento aproximado, una vez mas, consistente en la denominada cuerda del druida o cuerda de doce nudos, que presentaba 12 anudaciones situadas a una distancia fija y, por tanto, 13 “segmentos”. Concretamente formando un triángulo isósceles con dos lados de cuatro segmentos y el mayor de cinco, el ángulo entre uno de los lados iguales y el diferente, es aproximadamente de 51º, como se evidencia con trigonometría elemental y, justamente, es el que se precisa para construir la estrella de siete puntas. Uniendo el punto P con el vértice superior izquierdo de la planta rectangular, se establece un par de triángulos semejantes, que nos permiten aplicar el teorema de Tales y calcular el lado del triángulo situado sobre el eje longitudinal de la planta rectangular, lo que permite calcular la distancia entre el punto en el que cruza el eje longitudinal de la planta rectangular y el lado menor de la misma. Trazando una paralela al lado menor pasando por el punto en que cruza el segmento trazado desde P hasta el vértice superior izquierdo del rectángulo se configura un rectángulo cuya anchura es igual a la de la panta rectangular y el lado menor lo determinamos a partir de los triángulos semejantes anteriormente referidos. Si quisiéramos sustituir este rectángulo por un semicírculo, procederíamos igualando las áreas del rectángulo con la del semicírculo de donde obtendríamos el radio con el que trazar la rotonda del coro, común a todas las construcciones de este tipo. No es la cuadratura del círculo, pero el resultado es bastante aproximado, con un error de un centímetro.
Finalmente, solo falta obtener la panta circular a partir de la rectangular. Todos los empeños de la solución geométrica han sido estériles, pero las aproximadas resultan espléndidamente bellas. Si unimos el punto P con el centro del eje longitudinal de la planta rectangular y lo prolongamos, cortaremos al lado de la planta cuadrada en un punto, formándose así, dos triángulos semejantes, lo que nos permite determinar la distancia desde el punto en que corta la prolongación del segmento que une el punto P con el centro de la planta rectangular y el lado menor de la planta rectangular y mediante el teorema de Pitágoras obtendríamos el diámetro del círculo y el centro desde donde trazarlo, así como la superficie del mismo. El diámetro resulta ser de 26.17 metros y la superficie 537, 92 metros cuadrados, que reproduce la de la planta rectangular con un error, tan solo de 4 cm2 .
No se trata de un ejercicio de elocuencia geométrica, dado que la estrella que marca el límite del crucero se ha empleado en la determinación de la rotonda del coro y una línea que es el eje longitudinal, corta al lado opuesto en un punto y la distancia entre ambos es una buena aproximación del diámetro del círculo cuya superficie es la misma que la de las plantas cuadrad y rectangular. La planta circular permite disponer los pilares de la base del coro y de la unión de los cruceros. Situación y espesor de los pilares están determinados por las superficies consideradas. Las soluciones técnicas y geométricas iban de la mano. Hay más elementos de interés en la planta de la Catedral, como es que el rectángulo que excluye la rotonda del coro tiene las dimensiones de largo y ancho muy aproximadas a la razón de oro. Finalmente la longitud total vendrá dada por la adición de las tres plantas, rectangular, debajo la cuadrada con la diagonal en el eje de la catedral y a continuación la circular. La cuestión es que la planta cuadrada, en la catedral de Chartres, en su lado sudoeste tiene marcada una piedra blanca con un espiga de metal que el Sol ilumina, exactamente en el solsticio a mediodía del día 21.
Todo empezó con la columna del templo, le ayudó la cuerda del druida y una sucesión de equivalencias se desencadenó, siempre desde una geometría aproximada, capaz de resolver problemas técnicos de interés que involucran figuras geométricas bellas al tiempo que útiles. No se construían templos sólo por razones de culto, sino para generar recintos cargados de simbolismo que afloraban conocimientos acumulados que en los siglos XII y XIII solamente podían estar al alcance de muy pocos. Ya era conocimiento científico el que subyacía en los constructores de catedrales. Nada de magia, ni raro, sino conocimiento acumulado y puesto al servicio de las pocas actividades que requerían un conocimiento profundo para poder perdurar, como lo han hecho hasta nuestros días. Chartres, Reims, Amiens… que fueron pioneras. Después vinieron muchas otras. A la belleza visual, suman la tecno-científica del subsuelo. Cuando nos acercamos con seriedad, se nos revela un mundo que nos hace admirar a quienes lo hicieron posible.
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