Pensándolo bien...

El concepto de infinito ha fascinado y desconcertado a la humanidad desde tiempos inmemoriales. Ha sido tema de debate entre matemáticos, filósofos, teólogos y otros pensadores. Se ha considerado tanto una fantasía intelectual abstracta, como una realidad matemática fundamental.

Desde una perspectiva matemática, el infinito se utiliza de diversas maneras, pero siempre como una forma de representar una cantidad sin límite. Ya sea en el sentido de un número real que se acerca al infinito, un conjunto con un número infinito de elementos, o una serie que se suma hasta el infinito, los matemáticos han encontrado formas de dar sentido a este concepto escurridizo.

El infinito no está exento de dilemas y paradojas. Uno de los más famosos es la paradoja de Zenon de Elea, que vivió 490 y 430 a. C., para apoyar la propuesta  la doctrina de Parménides, en la que se afirma que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, la creencia en el pluralismo y el cambio es errónea y, en particular, que el movimiento no es más que una ilusión de los sentidos. Plantea que no se puede recorrer cualquier distancia porque primero se tiene que recorrer la mitad de la distancia, luego la mitad de la mitad y así sucesivamente, lo que lleva a una serie infinita de pasos. La solución a esta paradoja está en la comprensión de que la suma de una serie infinita puede ser un número finito.

Por otro lado, la infinitud tiene implicaciones profundas en filosofía y teología. En el ámbito de la metafísica, se cuestiona la posibilidad de un universo infinito y de la existencia eterna. En este marco se formulan muchos interrogantes: ¿Es el universo infinito en espacio y tiempo? ¿Es el ser humano capaz de concebir la eternidad? ¿Existe la vida después de la muerte? En teología, Dios es a menudo descrito como infinito: infinitamente sabio, infinitamente poderoso, infinitamente amoroso. Este concepto se utiliza para expresar la absoluta transcendencia de Dios sobre la creación.

El infinito, como vemos, es un concepto que desafía nuestra comprensión. Aunque puede ser incómodo e incomprensible, también es esencial en muchos campos del conocimiento humano. Nos empuja a ampliar los límites de nuestro entendimiento, nos invita a explorar y a cuestionar y nos ofrece una visión de algo más grande y más profundo que nuestra limitada experiencia humana. El infinito puede ser visto como una representación de lo inalcanzable, de lo que siempre yace más allá de nuestro alcance, no importa cuánto avancemos. Pero es, precisamente, en este incesante anhelo por alcanzar lo inalcanzable, donde se halla la verdadera belleza del infinito. Nos muestra que siempre hay algo más que aprender, algo más que explorar y algo más que comprender. Así, aunque nunca podamos abarcar completamente el infinito, su mera existencia es un constante recordatorio de que nuestro potencial para crecer y aprender también es, a su manera, infinito.

El infinito, además de sus ramificaciones en matemáticas, filosofía y teología, tiene un gran impacto en áreas como la física, la cosmología y la informática. En Física y en cosmología, el infinito aparece en dos contextos fundamentales. Primero, en la cosmología del Big Bang, donde se plantea que el Universo se expande infinitamente. Aunque no podamos observar más allá del horizonte cósmico, la teoría del Big Bang sugiere que hay un "más allá" infinito. Segundo, en los agujeros negros, se postula que existe una singularidad en el centro, donde la curvatura del espacio-tiempo se vuelve infinita. En informática, el infinito juega un papel en la teoría de la computación y en inteligencia artificial. La máquina de Turing, un modelo teórico de un ordenador, puede tener una cinta infinita sobre la cual opera. Además, en inteligencia artificial, especialmente en el aprendizaje automático, se utilizan conceptos matemáticos que implican la infinitud, como el concepto de un espacio de hipótesis infinito.

Conviene matizar si el universo es infinito o indefinido, tema de debate continuo entre los cosmólogos y que aún no tiene una respuesta definitiva. Se centra principalmente en dos aspectos: la forma y la extensión del universo. En términos de forma, los modelos cosmológicos estándar, generalmente presentan tres posibles geometrías para el universo: plana, cerrada (esférica) o abierta (hiperbólica). La evidencia actual, especialmente a partir de los datos de la radiación de fondo de microondas cósmica, sugiere que el Universo es plano con una gran precisión. En un universo plano, si no hay un borde (lo cual es consistente con el principio cosmológico, que sostiene que el universo es homogéneo e isotrópico en las escalas más grandes), entonces podría ser infinitamente grande. Sin embargo, eso no es definitivo. Podría ser que el Universo sea simplemente tan grande que no podamos detectar la curvatura o que esté curvado de tal manera que sea finito, pero no tenga bordes, similar a la superficie de una esfera. En cuanto a la extensión del Universo, la teoría de la inflación cósmica sostiene que el Universo que podemos observar, el Universo observable, es solo una pequeña parte de un Universo mucho más grande, quizás infinitamente grande, que está más allá de nuestro horizonte observable. Hay teorías que proponen la existencia de múltiples universos o un "multiverso", lo que agregaría otra dimensión de "infinitud" al tema. Por tanto, hasta la fecha, no sabemos con certeza si el Universo es finito o infinito. Es un tema en investigación activa en cosmología. Es posible que el Universo sea infinito en tamaño y/o que se extienda indefinidamente en el tiempo, o que sea finito, pero sin bordes y con una existencia que comenzó con el Big Bang. Ambas posibilidades presentan sus propios desafíos y misterios filosóficos y científicos.

El concepto de infinito y la noción de “indefinidamente” son dos ideas que a menudo se confunden, pero que tienen significados distintos y aplicaciones diferentes en diversos contextos, particularmente en matemáticas, física y en el lenguaje cotidiano. "Infinito" es un concepto matemático que denota una cantidad o magnitud sin límite o fin. Su aplicación es vasta en diferentes campos de las matemáticas, desde el cálculo hasta la teoría de conjuntos. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos, podemos hablar del tamaño del conjunto de todos los números enteros como infinito. En cálculo, utilizamos el infinito para describir límites que crecen sin restricciones. Por contra, "indefinidamente" es un término que se utiliza para describir algo que no tiene un fin determinado o definido, pero no necesariamente significa que sea infinito. Este término se usa más comúnmente en contextos no matemáticos y, con frecuencia, se refiere a un proceso o estado que continúa sin un fin preestablecido. Por ejemplo, podemos decir que una reunión se alargó indefinidamente si no se estableció un tiempo de finalización y continuó durante un tiempo incierto.

La diferencia fundamental entre "infinito" e "indefinidamente" radica en su precisión y aplicación. El infinito es un concepto exacto y cuantitativo, que se utiliza para describir una magnitud sin límites. Indefinidamente, por otro lado, es un término más vago y cualitativo que describe la ausencia de un final definido, pero no implica necesariamente infinitud. Esta precisión es crítica en matemáticas y física. Por ejemplo, en física, cuando decimos que el universo puede ser infinito, nos referimos a que puede extenderse en todas las direcciones sin límite. Pero cuando decimos que una partícula puede moverse indefinidamente, queremos decir que continuará moviéndose a menos que algo interfiera en su movimiento. En este caso, el movimiento es potencialmente infinito, pero también puede ser interrumpido. Para resumir, mientras que "infinito" e "indefinidamente" pueden parecer similares a primera vista, tienen diferencias significativas. El primero se refiere a algo que no tiene límites, en términos cuantitativos precisos. El segundo se refiere a algo sin un final preestablecido o definido, en términos cualitativos y a menudo contextuales. Comprender esta distinción es crucial para manejar con precisión, tanto conceptos científicos como en el lenguaje cotidiano.

A nivel humano, el infinito se refleja en la creatividad y la imaginación, que parecen no tener límites. La capacidad de soñar, de crear, de imaginar mundos y situaciones sin fin es, en cierto sentido, una manifestación del infinito en nosotros. El infinito también se encuentra en la naturaleza. Consideremos el fractal, una figura geométrica que puede dividirse en partes, cada una de las cuales es una réplica a escala reducida del todo. Este concepto de autosemejanza infinita es fascinante y muestra cómo el infinito puede manifestarse en formas sorprendentes. Por otro lado, el infinito representa el misterio y lo desconocido. A pesar de todos nuestros avances en ciencia y tecnología, hay un infinito número de cosas que aún no sabemos. Y cada vez que respondemos una pregunta, parecemos descubrir aún más preguntas sin respuesta.

En conclusión, el infinito es un concepto deslumbrante que abarca una multitud de disciplinas y perspectivas. Desafía nuestra comprensión, pero al mismo tiempo nos impulsa hacia adelante, a buscar, a aprender y a explorar. Nos muestra que siempre hay más allá, y nos ofrece la promesa de lo desconocido y lo inexplorado. A pesar de su misterio y complejidad, el infinito es, en última instancia, una afirmación de las ilimitadas posibilidades del universo y de nosotros mismos.

Las teorías de David Hilbert, John von Neumann y Georg Cantor representan algunos de los intentos más significativos para entender y formalizar el concepto del infinito en las matemáticas.

Georg Cantor es reconocido por desarrollar la teoría de conjuntos, que revolucionó la manera en la que entendemos el infinito en matemáticas. Cantor demostró que no todos los infinitos son iguales: algunos son más grandes que otros. Por ejemplo, demostró que el conjunto de todos los números reales es más grande que el conjunto de todos los números naturales, a pesar de que ambos conjuntos son infinitos. Para distinguir entre diferentes tipos de infinito, Cantor introdujo el concepto de cardinalidad de un conjunto.

John von Neumann, un matemático y físico de la primera mitad del siglo XX, utilizó los trabajos de Cantor para desarrollar su teoría de los números ordinales transfinitos, una extensión de los números ordinales (los números que refieren "primero", "segundo", "tercero", etc.) al infinito.

David Hilbert, contemporáneo de von Neumann, se ocupó del infinito en una variedad de formas. Propuso una forma de evitar las paradojas asociadas con el infinito al proponer un conjunto de axiomas para la teoría de conjuntos, conocido como los axiomas de Zermelo-Fraenkel, que limitan las formas en que se pueden formar conjuntos. Esto ayuda a evitar la formación de conjuntos que llevan a paradojas, como el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.

Hilbert también es famoso por su "Hotel de Hilbert", un concepto mental que ilustra la extraña naturaleza del infinito. El Hotel de Hilbert es un hotel con un número infinito de habitaciones. Aunque todas las habitaciones están ocupadas, todavía puede acomodar a más huéspedes, simplemente moviendo a cada huésped de la habitación n a la habitación n+1, liberando la primera habitación.

El trabajo de estos tres matemáticos ha tenido un impacto profundo en nuestra comprensión del infinito. A través de su trabajo, el infinito se ha convertido en un concepto matemático riguroso y esencial, utilizado en una amplia gama de disciplinas. Aunque la naturaleza del infinito sigue siendo un tema de debate, el trabajo de Cantor, von Neumann y Hilbert ha proporcionado una base sólida para su estudio y comprensión.

El concepto de dimensiones en matemáticas y física es fundamental para entender la estructura y la naturaleza del universo, como hemos podido comprobar en otro texto anterior. Mientras que estamos familiarizados con las tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo en nuestra vida diaria, los científicos y matemáticos han considerado la posibilidad de que existan más dimensiones - incluso un número infinito de ellas.

Desde una perspectiva matemática, las dimensiones superiores son un concepto bien establecido. Los matemáticos rutinariamente trabajan con espacios de muchas dimensiones, y hasta de un número infinito de dimensiones, llamados espacios de Hilbert. Aunque estos espacios no se pueden visualizar de la misma forma que visualizamos el espacio tridimensional, pueden ser descritos y comprendidos matemáticamente. Desde una perspectiva física, la idea de dimensiones superiores ha sido explorada en la teoría de cuerdas, teoría que busca unificar la física cuántica y la teoría general de la relatividad. La teoría de cuerdas sugiere que el Universo puede tener hasta diez dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo. La idea de un número infinito de dimensiones es aún más radical y tentadora. La existencia de un número infinito de dimensiones implicaría que nuestro universo es mucho más complejo y rico de lo que percibimos. Tal universo permitiría una variedad infinita de formas y estructuras más allá de nuestra comprensión actual.

A nivel filosófico, la idea de un número infinito de dimensiones desafía nuestras nociones de la realidad. Nos obliga a considerar que la realidad puede existir en formas que están más allá de nuestra percepción y entendimiento. Esto también podría abrir nuevas formas de pensar sobre conceptos como el multiverso, en donde cada universo representa una dimensión en un espacio de posibilidades infinitas. Sin embargo, aunque la idea de un número infinito de dimensiones es fascinante, también es altamente especulativa. No existe evidencia empírica que respalde la existencia de dimensiones más allá de las cuatro que conocemos. Además, aunque las Matemáticas nos permiten trabajar con un número infinito de dimensiones, la física nos enfrenta con la necesidad de verificar nuestras teorías con observaciones y experimentos.

Así pues, la idea de un número infinito de dimensiones es deslumbrante y ofrece un sinfín de posibilidades, pero sigue siendo un tema de investigación activa y debate en la comunidad científica. Sin embargo, independientemente de si el universo tiene un número finito o infinito de dimensiones, el simple hecho de explorar estas posibilidades expande los límites de nuestro conocimiento y nos da una visión más profunda de la naturaleza del universo.

Al explorar la noción de un espacio de infinitas dimensiones, nos encontramos en el límite entre la realidad objetiva, tal como la conocemos, y la realidad teórica, tal como la describen las Matemáticas y la Física teórica. No obstante, este límite no es un impedimento para nuestra comprensión, sino más bien una invitación a expandir nuestra perspectiva sobre lo que consideramos "real".

Desde un punto de vista matemático, un espacio de infinitas dimensiones, o espacio de Hilbert, es completamente real. Este tipo de espacio se utiliza frecuentemente en análisis funcional, teoría cuántica de campos y otras áreas de las Matemáticas y la Física. Un espacio de Hilbert se puede visualizar como una sucesión infinita de dimensiones ortogonales, aunque nuestra capacidad para visualizar de manera intuitiva se desvanece al superar las tres dimensiones espaciales. En Física teórica, particularmente en la teoría de cuerdas, se propone que existen más dimensiones de las que somos conscientes. Aunque estas dimensiones adicionales son finitas (normalmente 10 o 11 dimensiones en total), la idea central es similar: la realidad puede ser mucho más compleja y rica de lo que percibimos directamente.

No obstante, el salto de un número finito de dimensiones a un número infinito de dimensiones es colosal. Un Universo con un número infinito de dimensiones sería radicalmente diferente de cualquier cosa que podamos imaginar. En principio, podría albergar una diversidad infinita de fenómenos y estructuras, más allá de nuestra comprensión actual. Sin embargo, todavía no existen teorías físicas bien establecidas que requieran un número infinito de dimensiones espaciales y no hay evidencia empírica de su existencia.

A nivel filosófico, la pregunta sobre la "realidad" de un espacio de infinitas dimensiones nos lleva a la cuestión más profunda de qué es la realidad en sí. Si definimos la realidad como aquello que podemos percibir y medir, entonces un número infinito de dimensiones puede parecer irreal. Pero si definimos la realidad de manera más amplia, como todo lo que existe independientemente de nuestra percepción, entonces un espacio de infinitas dimensiones podría ser tan real como el espacio tridimensional que experimentamos.

La realidad de un espacio de infinitas dimensiones es, por ahora, principalmente una cuestión teórica y filosófica. Sin embargo, independientemente de su realidad objetiva, el concepto de un espacio de infinitas dimensiones tiene un valor innegable: nos obliga a pensar de manera más amplia y profunda sobre la naturaleza del Universo, y nos recuerda la infinita capacidad de la mente humana para explorar y comprender la realidad.