Pensándolo bien...

Los teselados aperiódicos, que propusiera Penrose, podrían aparentar un divertimento matemático inconexo con la realidad. Sin embargo, a mediados de la década de los ochenta del siglo pasado Dan Shechtman recibió el Premio Nobel de Química por el descubrimiento de los cuasicristales, evidenciando que en la naturaleza se generan estructuras ordenadas, careciendo de periodicidad, revolucionando la cristalografía, entre otras disciplinas.

Lo usual en la Naturaleza es que observemos materiales con ordenamiento de sus unidades constitutivas. El sistema cúbico del diamante es una noble muestra o la trigonal amatista o el sistema cristalino hexagonal del cuarzo. La Química llevó a la consideración de la unidad estructural identificada con, nada menos, que en más de 1023 unidades en cualquier masa constitutiva de una piedra preciosa. El quilate suele ser la unidad de referencia, tanto para oro como para materiales preciosos. En este último caso constituye la unidad de masa, cifrada en 200 miligramos que, a su vez, se dividen en 100 puntos y las piezas, comercialmente presentadas, no suelen superar los 25 puntos. En el caso del oro puro contenido en una aleación, quilate es una parte de oro en 24 partes del total.

Los cristales se “cocinan” en el Atanor de la Naturaleza con unidades pequeñas que integran moléculas o iones de pocos átomos o de muchos como en las proteínas. No es algo sin importancia, dado que, al examinarlos bajo la incidencia de la luz, se refleja y para ciertos ángulos las distintas filas pueden provocar la interferencia que conocemos como difracción, que von Laue identificó por primera vez en 1912, dando a conocer que los ángulos en los que el reflejo se refuerza correspondían al ordenamiento de las unidades, en su caso, de forma cúbica. Dado que las unidades a las que nos referimos están acomodadas a distancias unas de otras de unos pocos angstroms, la luz a emplear deben ser rayos X. A partir de aquí se estudiaron las distintas formas de empaquetar las unidades que podrían existir. Se concluyó en solo siete formas posibles de empaquetamiento, es decir siete sistemas cristalinos que se pueden rellenar de catorce formas diferentes, las denominadas catorce redes de Bravais.

Desde el punto de vista teórico, esta propuesta tiene muy buen acomodo para justificar el llenado del espacio en cajas trigonales, cúbicas, hexagonales, tetragonales, ortorrómbicas, triclínicas y monoclínicas. Sistemas con simetría de rotación en una, dos, tres, cuatro, cinco o seis fracciones del círculo completo, denominados C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ y C₆. Otras operaciones de simetría como la de ejes alternantes, constituidos por rotación y reflexión, así como planos o centros de simetría permiten deducir propiedades relevantes de las moléculas. No más.

Todo esto llegó así hasta 1982 en que Schechtman encontró un sólido para el que la difracción proponía una simetría quíntuple. La vieja teoría se veía comprometida con la nueva propuesta, no exenta de rechazo inicialmente y publicada en Pgysical Review Letters dos años después del hallazgo. Ponía en jaque la interpretación dada hasta el momento. Se veía afectada la teoría de la difracción y, en todo caso la matemática para interpretarla. Se abordó la cuestión de cubrir periódicamente un plano, lo que se ha dado en denominar la teselación el plano, o dicho de otra forma, responder a la forma que deben tener las teselas para cubrir una superficie. Hasta entonces solamente se podía lograr con rectángulos, triángulos, cuadrados y hexágonos, es decir con simetrías de rotación C₂, C₃, C₄ y C₆, también operativas en el espacio tridimensional. Si las teselas no tienen estas formas, no cubren la superficie, dejando huecos. Y aquí irrumpe Penrose que en 1974 propuso cubrir el plano con dos losetas combinadas para producir un ordenamiento pentagonal, aunque, eso sí, el ordenamiento aun siendo de largo alcance, es aperiódico. Penrose en 1973 llegó a la conclusión de un conjunto de seis teselas que pueden realizar la teselación aperiódica. Posteriormente restringió la colección a cuatro y finalmente a dos una formada por dos rombos iguales, pero con distintos ángulos y otra formada por dos cuadriláteros con simetría axial, uno convexo y otro cóncavo, procedentes de la partición de un rombo. Para que el t4eselado sea aperiódico hay que imponer restricciones porque de lo contrario se puede reconstruir el rombo y, entonces la teselación es periódica.

La periodicidad implica que cualquier fracción del total se reproduce de forma idéntica en alguna parte, con lo que la periodicidad solamente está bien definida en el infinito. Por el contrario, el largo alcance de carácter aperiódico no garantiza que podamos encontrar una parte que reproduzca de forma idéntica cualquier fracción del total. Hay que puntualizar, llegados a este punto que en la Naturaleza los materiales son finitos, por muy grande que sea el número de partículas que lo formen, siempre es finito. En Matemáticas se maneja el infinito. En Ciencias Naturales no puede importar mucho que una fracción del total infinito no se repita, porque al ser ordenado puede contribuir generando interferencias constructivas cuando incida la luz y se produzcan las ondas reflejadas por los átomos, que dan ligar al fenómeno de la difracción. Aquí es donde tienen utilidad los cristales de Schechtman y la teselación de Penrose, ambos no periódicos, pero con extensión de largo alcance. De aquí que se les denomine cuasiperiódicos. Los cristales de Schechtman son la concreción en tres dimensiones de la teselación. Son ordenaciones no periódicas, si de largo alcance y, como consecuencia pueden producir la difracción de rayos X, pese a su simetría quíntuple. Debido a su estructura única, los cuasicristales tienen propiedades que difieren de las de los materiales cristalinos y amorfos. Estas propiedades incluyen una baja conductividad térmica y eléctrica y una alta dureza. Una utilidad palmaria de esta ordenación la encontramos en recubrimientos duros para utensilios de cocina y otras herramientas debido a su resistencia al desgaste. Los cuasicristales pueden formarse, tanto naturalmente como ser sintetizados en laboratorio. Su formación suele ser el resultado de un enfriamiento rápido de un material fundido.

La Naturaleza nos muestra la bondad de la propuesta, por cuanto se han detectado sólidos cuasicristalinos naturales. El Nobel del año 2011 otorgado a Schechtman, según algunos, incluía en un principio a Penrose, aunque fuera en Química. No fue finalmente así. Con Penrose, pasa como en su día ocurrió con Newton, que hay varias disciplinas científicas por las que podría optar al Nobel. No hubiera sido de extrañar que lo obtuviera en varias ocasiones y en diferentes áreas de conocimiento. No está demostrado que la sabiduría tenga limites disciplinarios. Tampoco la Ciencia es estanca y delimitada. A los hechos y la propia historia nos remitimos. En el caso de los cuasicristales, aunque su propuesta fuera hace mucho tiempo, queda por examinar si tiene que ver con propiedades de resistencia a la oxidación o comportamiento con la temperatura o que propiedades de adhesión, puedan tener que ver con la estructura cuasicristalina. Quien piense que sabemos lo suficiente, está equivocado. Simplemente.