Pensándolo bien...
Imagina que tienes dos hojas de papel, de dos colores diferentes, como rojo y azul. Imagina, todavía algo más, en cada una de esas hojas de papel podrían vivir criaturas diferentes o ser el sustrato donde acontecen diferentes historias. Mundos aparte, distintos, distinguibles. Ahora piensa que quieres y pretendes que esos dos mundos resulten conectados. ¿Cómo podrías lograrlo? Una opción para resolver el propósito es usar una nueva hoja de papel, pongamos, esta vez de color verde, con la que vamos a unir la hoja azul y la roja. Naturalmente, esta hoja verde debería ser como un puente o un túnel que conecta a ambos mundos.
En Matemáticas, cuando se habla de cobordismo, se piensa en algo similar. Es como decir que dos formas o espacios, que en nuestro supuesto son las hojas de papel, pueden estar conectados por otro espacio, que es el que actúa de puente. Pero, este puente nos evidencia que no están los espacios iniciales completamente separados, sino que hay una forma de ir de uno al otro, pasando por ese espacio especial que situamos en medio.
Podemos materializar lo dicho con plastilina. Hagamos dos figuras pequeñas, por ejemplo, una estrella y un círculo. Ahora usemos otra pieza de plastilina para unir las dos figuras anteriores, formando como una especie de camino o puente entre ellas. Ciertamente, este “camino” ayuda a los científicos a entender cómo están conectadas dos formas. Otro ejemplo nos permitirá visualizar estos conceptos. Imagina que quieres ir de tu casa a la casa de un familiar. Dada la ubicación de ambas casas en la ciudad, no hay más remedio que pasar a través de un parque. Este parque es el cobordismo que los conecta, como lo era la pieza de plastilina que unía las figuras anteriores. El cobordismo es una forma de mostrar que incluso las cosas que parecen diferentes o separadas, pueden estar conectadas de alguna forma especial. Es como el camino secreto que une lugares o historias en cualquier juego o aventura. Lo empleado, no son más que analogías visuales o actividades que facilitan la comprensión de ideas abstractas de forma concreta y tangible.
El concepto de cobordismo, introducido y desarrollado por René Thom en la década de 1950, constituye una de las ideas más influyentes en la topología diferencial y ha tenido un profundo impacto en el desarrollo de la matemática moderna. Tiene múltiples aplicaciones y forma parte del legado de René Thom.
El cobordismo surge como una noción que busca clasificar variedades diferenciables a través de sus propiedades globales. René Thom lo introdujo en su trabajo seminal de 1954, lo que le llevó a ganar la Medalla Fields en 1958. En términos simples, dos (n)-variedades, (M) y (N), son cobordantes si existe una ((n+1))-variedad (W) tal que el borde de (W) es la unión disjunta de (M) y (N). Esta relación de equivalencia entre variedades abre un nuevo panorama para estudiarlas no solo en sí mismas, sino como bordes de otras variedades de mayor dimensión.
Thom desarrolló el teorema de cobordismo, que establece que las clases de cobordismo de variedades cerradas y suavemente diferenciables forman un anillo, conocido como el anillo de cobordismo. Este resultado es notable porque proporciona una estructura algebraica para el estudio de variedades, vinculando la topología diferencial con técnicas algebraicas y homológicas. El teorema se apoya en el uso de espectros en topología algebraica, particularmente en el espectro Thom, que es fundamental para la homología y la cohomología de cobordismo.
Las implicaciones del trabajo de Thom en cobordismo se extendieron rápidamente más allá de la topología pura. En Física, por ejemplo, la teoría de cobordismo ha encontrado aplicaciones en teoría de cuerdas y teoría cuántica de campos, donde las propiedades de cobordismo de las variedades afectan las teorías físicas subyacentes. Además, el cobordismo se ha utilizado en el estudio de singularidades y en la clasificación de variedades de alta dimensión.
Imagen creada con ChatGPT con DALL-E
El impacto de René Thom en la matemática es considerable, no solo por su introducción del cobordismo, sino también por sus contribuciones a la teoría de catástrofes y la topología estratificada. Su enfoque para resolver problemas matemáticos era profundamente geométrico y topológico, lo que ha extendido su influjo a generaciones de matemáticos. La capacidad de Thom para conectar ideas abstractas con problemas concretos ha dejado un legado invaluable en la comunidad matemática.
René Thom en los años 50, utilizó la teoría de cobordismo para resolver problemas de clasificación de variedades y demostró que las clases de cobordismo de variedades forman un anillo, conocido como el anillo de cobordismo, que es un invariante algebraico poderoso. Una variedad es un espacio que localmente se parece a un espacio euclidiano. El cobordismo considera variedades que pueden actuar como "bordes" de otras. Las variedades se pueden agrupar en clases, donde dos variedades pertenecen a la misma clase si una puede ser transformada en la otra, mediante una serie de operaciones permitidas. El anillo de cobordismo es un concepto algebraico que encapsula la estructura de cómo las variedades se relacionan entre sí a través de cobordismos. Es fundamental para entender la teoría de homología y cohomología.
Las aplicaciones del cobordismo son muy numerosas y varían desde la Física teórica hasta la informática cuántica. En Física, el cobordismo se ha usado para entender las teorías de campos cuánticos y la clasificación de fases de la materia. En Matemáticas, es una herramienta crucial en la teoría de homotopía y los invariantes de tipo Morse. El campo del cobordismo sigue siendo activo con muchos problemas abiertos. Los matemáticos continúan explorando generalizaciones del cobordismo, como el cobordismo equivariante y el cobordismo motivico, que intentan incorporar simetrías adicionales y estructuras algebraicas.
El estudio del cobordismo no solo enriquece nuestra comprensión de la Matemática y la Física, sino que también desafía nuestras percepciones sobre cómo se pueden conectar y transformar los espacios. A medida que la tecnología y la teoría avanzan, es probable que las aplicaciones del cobordismo se expandan aún más, abriendo nuevos caminos en la Ciencia y la ingeniería.
En Física y Química Física, las transiciones de fase se refieren a los cambios entre diferentes estados de la materia, como de sólido a líquido, o de líquido a gas, por ejemplo. Estos cambios son fundamentales para comprender fenómenos naturales y procesos industriales. La aplicación del concepto de cobordismo a las transiciones de fase, puede proporcionar una nueva perspectiva para estudiar cómo se conectan y transforman estas fases.
En el contexto de las transiciones de fase, podemos considerar que cada estado de la materia es una "variedad" distinta. El cobordismo aquí podría interpretarse como la existencia de una transición suave o un "camino" que conecta estas variedades (estados de la materia), lo que representa el proceso de cambio de fase.
La Teoría de campo topológico es un área donde el cobordismo ya juega un papel prominente en Física. Los campos teóricos que describen las transiciones de fase pueden considerarse como variedades cobordantes, donde las singularidades y los puntos críticos, como los puntos de transición de fase, pueden estudiarse a través de las propiedades topológicas de estas variedades. Durante una transición de fase, los sistemas pasan por puntos de acción donde sus propiedades pueden cambiar abruptamente. El cobordismo podría ayudar a clasificar a los puntos de diferencia en términos de las 'variedades' que se unen o separan en estas transiciones. En materiales como los aislantes topológicos, las fases del material están protegidas por propiedades topológicas. Utilizando el cobordismo, potencialmente se podrían describir o predecir las propiedades de nuevas fases materiales basadas en sus conexiones topológicas. En sistemas complejos como los biomoleculares o climáticos, las transiciones pueden ser extremadamente difíciles de predecir y modelar. El cobordismo ofrece una herramienta matemática que podría aplicarse para entender cómo las pequeñas alteraciones en un estado pueden conducir a cambios dramáticos en otro.
El uso de cobordismo en Física de transiciones de fase es una propuesta teórica avanzada y requiere una integración profunda de la topología y la Física. Los desafíos radican en que la aplicación de conceptos avanzados de topología a problemas físicos reales puede ser matemáticamente exigente. Convertir resultados topológicos en predicciones físicas útiles es un paso crucial y complicado. Explorar las transiciones de fase a través del lente del cobordismo no solo enriquece nuestra comprensión teórica de estos fenómenos, sino que también abre nuevas vías para investigación en Física teórica y aplicada. A medida que avanzamos, la integración de estas disciplinas matemáticas y físicas promete revelar más sobre la intrincada danza de las partículas y las fases que forman la materia en nuestro Universo.
Consideremos los cambios en los estados de oxidación del hierro en un proceso redox, donde podrían interpretarse metafóricamente como una especie de "cobordismo" entre diferentes formas del elemento. Supongamos que tenemos hierro metálico (Fe) en un estado de oxidación 0. El hierro se oxida en presencia de oxígeno para formar óxido de hierro (III), Fe2O3, donde el hierro está en el estado de oxidación 3,
4Fe+3O2→2Fe2O3
En otro escenario, el óxido de hierro (III) podría ser reducido retornando a hierro metálico, completando un ciclo redox,
Fe2O3+3H2→2Fe+3H2O
Podemos ver el ciclo de oxidación y reducción del hierro como un "cobordismo" entre diferentes estados de oxidación del hierro. El hierro metálico y el óxido de hierro (III) serían como "variedades" diferentes, y el proceso redox sería el "cobordismo" que conecta estos dos estados a través de una transformación química.
Este tipo de conexión entre estados de una sustancia puede ser una herramienta útil para visualizar y entender las relaciones dinámicas en la química, aunque no se trata de un cobordismo en el sentido matemático estricto. La idea de transformación y transición entre estados es central en muchas áreas de la química, como la cinética química, la catálisis, y la termodinámica.
La noción de cobordismo puede ser una poderosa metáfora para entender las relaciones y conexiones en la sociedad, ofreciendo una lente única para examinar la cohesión social, las transiciones culturales y las dinámicas de inclusión y exclusión. El concepto cobordismo social: podría referirse a las maneras en que diferentes grupos sociales o comunidades están conectados o pueden ser conectados a través de 'bordes' comunes, que pueden ser eventos, ideologías, o espacios compartidos. En el contexto social, las fronteras pueden ser físicas, como las de un barrio, pero también podían ser ideológicas o culturales. El estudio de cómo estas fronteras se cruzan o se integran podría verse como un análisis de cobordismo social.
La fusión de culturas en ciudades cosmopolitas puede ser vista como un tipo de cobordismo, donde las 'fronteras' entre diferentes culturas se vuelven menos definidas y más permeables, lo que permite una mezcla y creación de nuevas identidades culturales. Los movimientos que abogan por el cambio social, como los derechos civiles o la igualdad de género, pueden ser interpretados como intentos de 'coser' partes de la sociedad que han sido históricamente segregadas o marginadas. La regeneración de áreas urbanas donde diferentes comunidades económicas y sociales se encuentran, puede ser vista como un esfuerzo de cobordismo, intentando crear espacios inclusivos que sirvan como 'bordes' donde se encuentran y se integran distintas comunidades.
En el proceso de cobordismo social, uno de los desafíos es cómo las comunidades mantienen su identidad única mientras forman parte de una sociedad integrada. A menudo, las transiciones hacia la integración pueden exacerbar las desigualdades existentes o crear nuevas, si no se manejan con sensibilidad y planificación.
Aplicar el concepto de cobordismo a la vida social ofrece un nuevo marco para entender cómo las comunidades pueden unirse, cómo las transiciones sociales se gestionan y cómo las fronteras culturales y sociales pueden ser negociadas o transformadas. Este enfoque podría llevar a nuevas formas de pensar sobre la integración social y la construcción de una sociedad más cohesiva y justa.
Este tipo de análisis invita a una reflexión profunda sobre los métodos y modelos que utilizamos para entender y mejorar nuestra convivencia social, mostrando que incluso conceptos abstractos y complejos de las matemáticas pueden encontrar aplicaciones sorprendentes y útiles en nuestra vida diaria.
El cobordismo de René Thom no es solo un concepto topológico, sino una herramienta que ha permitido a científicos explorar y entender mejor la estructura subyacente del Universo. Como tal, sigue siendo un área muy atractiva de investigación y desarrollo, demostrando la profundidad y la fecundidad de las ideas de Thom, al proporcionar un marco para el entendimiento de las variedades en contextos que trascienden las dimensiones y las disciplinas. El cobordismo continúa siendo un testimonio del ingenio y la visión de René Thom.
Sopa de letras: COBORDISMO
Soluciones: PROTEÍNAS MINERAS