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La geometría enumerativa, introducida en el siglo XIX, es una rama de la Geometría que se ocupa de determinar el número de intersecciones de variedades algebraicas sometidas a restricciones o condiciones que hagan que el número sea finito e invariante para una transformación topológica. Tiene su interés en campos como en la determinación del número de curvas en espacios de Calabi-Yau, donde se obtienen las soluciones hexa-dimensionales de las ecuaciones de la gravedad de Einstein, que tienen mucho interés en la teoría de cuerdas.
Al envolver un cilindro con una cinta dando vueltas alrededor de aquél, las curvas del espacio de Calabi-Yau se clasifican de acuerdo con un número entero, denominado grado, que es una medida de la frecuencia de la envoltura. Determinar que ese número de curvas corresponde a un grado dado es un problema complejo, incluso para el espacio Calabi-Yau más simple, el quíntico. En el siglo XIX ya quedó establecido que el número de líneas (curvas de grado uno) es igual a 2875. En 1980 se encontró el número de curvas de grado dos, que era mucho mayor, 609250. Llegar a determinar el número de curvas de grado tres, es cosa casi inalcanzable. Los teóricos de cuerdas trasladaron el problema geométrico a uno físico. Idearon como calcular el número de curvas de cualquier grado. Era un alarde
En cuántica, tiene sentido combinar el número de curvas de todos los grados en una única y elegante función. Una vez juntas, la interpretación física es directa: se puede interpretar como una amplitud de probabilidad de una cuerda propagándose en el espacio de Calabi-Yau, aplicando el principio de suma sobre todos los casos (superposición). Se puede pensar en una cuerda para sondear todas las curvas posibles de todos los grados posibles al mismo tiempo y concebir un calculador cuántico super-eficiente. Se precisaba un segundo ingrediente para lograr la solución: una formulación de la física que utilizara el llamado “espejo” del espacio de Calabi-Yau. El término espejo es engañosamente simple. Al contrario de un espejo ordinario que refleja una imagen, aquí el espacio original y su espejo tienen forma diferente: no tienen la misma topología. Pero en el campo de la teoría cuántica, comparten muchas propiedades. En particular, la propagación de la cuerda en ambos espacios es idéntica, de forma que la dificultad de cálculo del problema original se traslada a la expresión mucho más simple del espejo, donde se puede calcular con una simple integral. Complejo, pero simple. Simple pero complejo.